O que é o paradoxo do aniversário?
1. Não é um paradoxo. 2. É fácil de resolver.
Nasci no dia 2 de agosto, exatamente 33 anos antes do nascimento de meu pai. Sempre ensinei que compartilhar o aniversário com meu pai era algo realmente único. Não tenho nem dois amigos que nasceram no mesmo dia.
Nunca pensei realmente sobre a matemática de duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia. Se um dia um amigo meu não tivesse falado comigo sobre o paradoxo do aniversário, eu provavelmente nunca o faria. Ele disse: “Você está em uma festa. Há exatamente 23 pessoas na sala, quais são as chances de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia?” Eu disse: “Não sei, mas acho que estão muito baixos”.
“Na verdade, é mais de 50%.”
“De jeito nenhum isso é verdade!”
Acontece que é.
Para resolver este problema, temos que responder a uma pergunta simples:
De quantas pessoas precisamos para que a probabilidade de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia seja superior a 50%?
Antes de começar, temos que fazer algumas suposições. Primeiro, consideramos um ano de 365 dias (sem anos bissextos, desculpe). Isso significa que para ter 100% de probabilidade, precisamos de 366 pessoas. A segunda suposição é que todos os 365 aniversários são igualmente prováveis. Na realidade, isso não é verdade, mas os resultados são afetados apenas ligeiramente.
Veja também:
Você consegue resolver o famoso enigma da casa de Albert Einstein?
Continue com: O que é o paradoxo do aniversário?
Solução
Vamos começar de forma simples. Qual é a chance de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia? A primeira pessoa pode nascer em qualquer dia do ano, isso significa que a probabilidade é 365/365 = 1. A segunda pessoa tem que nascer no mesmo dia que a primeira e há 1/365 de chance de isso acontecer.
Esses dois eventos precisam acontecer ao mesmo tempo, então a probabilidade é:
Não muito alto como esperávamos.
Agora podemos considerar um grupo de três pessoas (vamos chamá-los de A, B, C). Para saber a probabilidade de pelo menos duas pessoas compartilharem seu aniversário, temos que calcular:
Probabilidade de A e B terem o mesmo aniversário.
Probabilidade de B e C terem o mesmo aniversário.
Probabilidade de A e C terem o mesmo aniversário.
Probabilidade de A, B e C terem o mesmo aniversário.
Isso não é muito difícil. No entanto, se quisermos fazer o mesmo para um número maior de pessoas, os cálculos necessários seriam muitos.
Felizmente, podemos usar um pequeno truque.
Queremos calcular a probabilidade de que duas pessoas nasçam no mesmo dia, que chamamos de p (B), mas é mais simples fazer o oposto. Então, vamos calcular a probabilidade de duas pessoas não compartilharem seu aniversário e chamamos isso de p ‘(B).
Quando temos p ‘(B), para calcular a probabilidade p (b) tudo o que temos que fazer para obter o resultado é p (B) = 1-p’ (B)
Vamos começar de forma simples. A probabilidade de que duas pessoas não façam aniversário no mesmo é p ‘(B)
O termo 365/365 significa que a primeira pessoa pode nascer em qualquer dia do ano. No entanto, se quisermos que a segunda pessoa não compartilhe o aniversário com a primeira, temos que excluir esse dia do número de aniversários possíveis para a segunda pessoa.
Podemos fazer o mesmo por três pessoas e o resultado é este
Você provavelmente já adivinhou para onde estamos indo com isso. Se aplicarmos este princípio para 23 pessoas, o resultado que obteremos é
Isso significa que a probabilidade de duas pessoas não compartilharem a data de aniversário é de 49,3% se houver 23 pessoas.
Agora, para calcular a probabilidade, simplesmente temos que fazer
Aí está, se pegarmos um grupo de 23 pessoas, é mais provável que duas delas façam aniversário do que não.
Para visualizar melhor o resultado, é útil plotar em um gráfico as duas probabilidades que calculamos, p ‘(B) e p (B).
Para ser mais específico, aqui estão as probabilidades de duas pessoas compartilharem seu aniversário:
Para 23 pessoas, a probabilidade é de 50,7%
Para 30 pessoas, a probabilidade é 70,6%
Para 40 pessoas, a probabilidade é de 89,1%
Para 50 pessoas, a probabilidade é de 97,0%
Para 75 pessoas, a probabilidade é 99,97%
Conforme o número de pessoas aumenta, a probabilidade fica mais próxima de 100%. É exatamente 100% para 366 pessoas.
Conclusão
Agora você pode estar se perguntando por que esse problema é um paradoxo. E você estaria certo porque não é. No entanto, o fato de haver mais de 50% de chance de que duas pessoas nasçam na mesma em um pequeno grupo de 23 pessoas é realmente contra intuitivo.
O principal motivo é que, se estivermos em um grupo de 23 e compararmos nossa data de nascimento com a dos outros, achamos que estamos fazendo apenas 22 comparações. Isso significa que há apenas 22 chances de compartilhar o aniversário com alguém.
No entanto, não fazemos apenas 22 comparações. Esse número é muito maior e é a razão pela qual percebemos esse problema como um paradoxo.
Na verdade, a segunda pessoa foi comparada com a primeira, então ela tem 21 comparações a fazer. O terceiro deve fazer 20 e assim por diante. Para obter o número total de comparações, temos que fazer:
Portanto, no total, fazemos 253 comparações. São muito mais do que os 22 que pensávamos estar fazendo no início.
Em conclusão, a natureza contra intuitiva deste problema é a razão pela qual todos se referem a ele como o paradoxo do aniversário, embora não seja.